Some integrable aspects of noncommutative and quantum Painlevé II equations

Dans cette thèse, nous commençons avec une revue de la dérivation de l'équation de Painlevé II classique et de sa hiérarchie du système de Korteweg-de Vries solitonique et de l'équation de Korteweg de Vries modifiée. De plus, notre revue contient la construction de la hiérarchie hamiltonienne de l'équation PII en utilisant la méthode de déformation isomonodromique avec l'interprétation de l'orbite coadjointe. Nous donnons aussi une brève introduction aux équations de Painlevé quantiques et à leurs systèmes diffèrentiels correspondants. Le but de cette thèse est de proposer les développements modernes dans la thèorie de l'équation de Painlevé II, particulièrement son analogue non-commutatif qui est récemment présenté par V. Retakh et V. Roubtsov et d'évaluer quelques aspects intégrables de cette équation. Nous expliquons une procédure qui nous permet de construire une connexion à des solutions de l'équation de Painlevé II noncommutative avec les équation Toda non commutatives sous un certain ansatz. Cette thèse contient aussi la représentation de courbure nulle pour l'équation de Painlevé II no-N-commutative avec le terme constant nul, ainsi que la dérivation de ses solutions en termes de déterminants de Fredholm. A la fin de la thèse, nous construisons une autre représentation de courbure nulle, la condition de compatibilité des systèmes linéaires dans sa Forme générale qui rapporte la version originale présentée de l'équation de Painlevé II non-commutative avec le terme constant non-nul. Nous obtenons aussi l'équation de Riccati en partant d'un problème apectral linéaire de l'équation de Painlevé II non-commutative. Finalement nous construisons une expression explicite pour ses transformations et ses solutions multi-solitoniques en termes de qUasidéterminants de Gelfand-Retakh en appliquant les transformations de Darboux de la manière récursive. Nous dérivous aussi des solutions de l'équation Painlevé II Riccati non-commutative. Nos résultats sur l'équation PII noncommutative contiennent également la dérivation de s analogues de solutions multi-solitoniques de cette équation en prenant les solution du système de Toda de la forme quasidéterminante de Hankel à n=1 et sa contrepartie négative en tant que solutions initiales pour transformation de Darboux de solutions de Painlevé II non-commutative. En outre, nous construisons les expressions explicites de transformations de Darboux pour φ et ψ qui sont impliqués dans les solutions initiales à l'aide des systèmes linéaires dont la condition de compatibilié impliquées la représentation de courbure nulle des systèmes différentielles non-linéaires assocciés et généralisons leurs transformations de Darboux d'ordre N. Une représentation de cournure nulle pour l'équation de Painlevé II quantique est proposée et une forme de Riccati est dérivée.

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Laboratoire Angevin de Recherche en Mathématiques (LAREMA)